Singularidades como geradoras de constelações de sinais e triângulos hiperbólicos

Resumo

Neste trabalho serão consideradas três singularidades regulares de equações diferenciais fuchsianas, sendo uma delas o infinito, como geradoras de constelações de sinais e como vértices de um polígono hiperbólico, a fim de estabelecer uma conexão com a análise de erros em um canal discreto sem memória e em um código geometricamente uniforme. O procedimento é baseado nas seguintes etapas: dados dois pontos complexos e o infinito: (1) considerar esses pontos como singularidades de uma equação diferencial fuchsiana; (2) gerar constelações de sinais no plano complexo a partir das singularidades obtidas; (3) considerar a existência de um código perfeito ou quase perfeito sobre a constelação de sinais e sua capacidade de correção de erros; (4) analisar essas singularidades como vértices de um triângulo hiperbólico para identificar o gênero da superfície associada, por meio dos emparelhamentos dos lados desse triângulo; (5) verificar qual canal está associado ao mesmo gênero, e assim representar os vértices do triângulo hiperbólico como entradas e saídas do canal; (6) analisar o canal associado às palavras-código para verificar a probabilidade de erro da singularidade transmitida. Por meio dos resultados obtidos, pode-se concluir que singularidades com a parte real oposta geram códigos perfeitos e/ou quase perfeitos com a mesma capacidade de correção de erros. Foi possível representar as palavras-código como entradas e saídas de um canal discreto sem memória, mostrando que a probabilidade de erro, p, está relacionada ao número de palavras-código sobre a constelação. Ao considerar as singularidades como vértices de um triângulo hiperbólico, foi estabelecida uma conexão com o canal binário simétrico C_2,2, cujas entradas e saídas representam os pares de singularidades opostas em relação ao eixo imaginário. As conexões estabelecidas podem ser aplicadas à analise de erros em um processo de transmissão de informação.