Singularidades como generadoras de constelaciones de signos y triángulos hiperbólicos

Resumen

En este trabajo se considerarán tres singularidades regulares de ecuaciones diferenciales fuchsianas, una de ellas el infinito, como generadores de constelaciones de señales y como vértices de un polígono hiperbólico, con el fin de establecer una conexión con el análisis de errores en un canal discreto sin memoria y en un código geométricamente uniforme. El procedimiento se basa en los siguientes pasos: dados dos puntos complejos e infinito: (1) considerar estos puntos como singularidades de una ecuación diferencial fuchsiana; (2) generar constelaciones de señales en el plano complejo a partir de las singularidades obtenidas; (3) considerar la existencia de un código perfecto o casi perfecto sobre la constelación de señales y su capacidad de corrección de errores; (4) analizar estas singularidades como vértices de un triángulo hiperbólico para identificar el género de la superficie asociada, a través de los emparejamientos de los lados de este triángulo; (5) comprobar qué canal está asociado al mismo género, y así representar los vértices del triángulo hiperbólico como entradas y salidas del canal; (6) analizar el canal asociado con las palabras de código para verificar la probabilidad de error de la singularidad transmitida. A través de los resultados obtenidos, se puede concluir que las singularidades con parte real opuesta generan códigos perfectos y/o casi perfectos con la misma capacidad de corrección de errores. Fue posible representar las palabras de código como entradas y salidas de un canal discreto sin memoria, mostrando que la probabilidad de error, p, está relacionada con el número de palabras de código en la constelación. Al considerar las singularidades como vértices de un triángulo hiperbólico, se estableció una conexión con el canal binario simétrico C_2,2, cuyas entradas y salidas representan los pares de singularidades opuestas con respecto al eje imaginario. Las conexiones establecidas se pueden aplicar al análisis de errores en un proceso de transmisión de información.