Geometria de Laguerre e hipersuperfícies de Dupin com curvaturas de Laguerre constantes em Rn+1

Resumo

Neste trabalho, apresentamos os resultados estudados em Caixeta e Rodrigues [4]. Inicialmente, estudamos a geometria das esferas orientadas em Rⁿ⁺¹ tendo como base o trabalho de Cecil [1], e a geometria de Laguerre no espaço Euclidiano, de acordo com o artigo de Li e Wang [6]. Posteriormente, considerando Mⁿ ⊂ Rⁿ⁺¹ uma hipersuperfície orientável com r curvaturas principais distintas (r ≥ 3) e não nulas, apresentamos uma caracterização obtida por Li e Wang [7], em termos dos invariantes de Laguerre, das hipersuperfícies de Dupin com curvaturas de Laguerre constantes. Apresentamos ainda o resultado de classificação das hipersuperfícies de Dupin com curvaturas de Laguerre constantes proposto por Li e Wang [7], que consiste em mostrar que uma hipersuperfície de Dupin com curvaturas de Laguerre constantes é Laguerre equivalente a uma hipersuperfície isoparamétrica de Laguerre plana. Em um contexto um pouco diferente do até então estudado, considerando uma hipersuperfície de Dupin própria em Rⁿ⁺¹, que admite um sistema de coordenadas principais com n curvaturas principais distintas e não nulas, Cezana e Tenenblat [2] apresentaram uma caracterização das hipersuperfícies de Dupin em Rⁿ⁺¹, n ≥ 3, com todas as curvaturas principais distintas e curvaturas de Laguerre constantes, que admite uma parametrização por linhas de curvatura, em termos de seus raios de curvatura e de sua primeira forma fundamental. Assim, utilizando esse resultado, Cezana e Tenenblat [2] apresentaram explicitamente todas essas hipersuperfícies que possuem curvaturas de Laguerre constantes.