Solução numérica de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com termo fonte singular usando métodos de Runge-Kutta de quarta ordem

Resumo

Este trabalho investiga numericamente problemas de valor inicial modelados por equações diferenciais com termos fonte do tipo delta de Dirac, utilizando uma abordagem direta com métodos clássicos de Runge-Kutta. Diferentemente da literatura convencional sobre sistemas impulsivos - que substitui as singularidades por condições de salto em tempos conhecidos -, aqui tratamos explicitamente a singularidade através de uma regularização do delta de Dirac. Implementamos duas variantes de métodos explícitos (RK4 clássico e RK46 modificado) em linguagem C, validando primeiramente sua correta implementação mediante três problemas teste com soluções diferenciáveis, onde ambos métodos apresentaram a ordem de convergência quarta esperada. Quando aplicados a dois problemas com fontes singulares (delta de Dirac regularizado), os resultados revelam uma queda drástica na ordem de convergência - que se aproxima de zero -, embora o método RK46 demonstre performance ligeiramente superior ao RK4 em termos de erro absoluto. Estes resultados, embora não satisfatórios numericamente, constituem uma contribuição relevante por: (i) documentar sistematicamente o comportamento de métodos clássicos frente a singularidades não tratadas por condições de salto; (ii) evidenciar a necessidade de desenvolvimento de esquemas numéricos especializados para esta classe de problemas, já que a abordagem direta mostrou-se inadequada. O trabalho serve assim como alerta sobre as limitações dos métodos padrão e como ponto de partida para investigações futuras.