Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con término fuente singular mediante métodos de Runge-Kutta de cuarto orden

Resumen

Este trabajo investiga numéricamente problemas de valor inicial modelados por ecuaciones diferenciales ordinarias con términos fuente de tipo delta de Dirac, utilizando un enfoque directo basado en métodos clásicos de Runge--Kutta. A diferencia de la literatura sobre sistemas impulsivos, que trata las singularidades mediante condiciones de salto, la singularidad se considera explícitamente mediante una regularización de la delta de Dirac, empleando cinco funciones de aproximación: una con soporte no compacto y cuatro con soporte compacto, estas últimas ampliamente utilizadas en problemas de interacción fluido--estructura en el contexto del método de la frontera inmersa de Peskin. Los métodos explícitos RK4 clásico y RK46 fueron implementados en lenguaje C y validados inicialmente mediante problemas de prueba con soluciones suaves, en los que ambos presentaron el orden de convergencia teórico esperado. Al aplicarlos a problemas con fuentes singulares, los resultados evidencian una pérdida significativa del orden de convergencia, con valores inferiores a uno, lo que indica limitaciones del enfoque directo. No obstante, el método RK46 mostró un desempeño ligeramente superior al RK4 en términos de error absoluto, y la función de regularización con soporte no compacto produjo los mejores resultados entre las aproximaciones consideradas. Estos resultados constituyen una contribución relevante al documentar el comportamiento de métodos clásicos en presencia de singularidades tratadas directamente y al evidenciar la necesidad de desarrollar esquemas numéricos más robustos para esta clase de problemas, así como de estudiar y proponer nuevas funciones de regularización para la aproximación de la delta de Dirac, con el objetivo de obtener mejores resultados numéricos.