Lógica de deducibilidad: el axioma modal B y adjunciones

Resumen

La lógica de deducibilidad, o lógica TK, formaliza en el entorno proposicional la definición del operador de consecuencia de Tarski. En este proceso de formalización de la noción de deducibilidad, el sistema lógico generado, la lógica TK, tiene un carácter modal para el concepto de deducción. Extiende la lógica proposicional clásica a través de un operador unario que representa, en el lenguaje de la lógica, el operador de consecuencia de Tarski. La lógica TK tiene TK-álgebras como modelo algebraico y los espacios cuasi topológicos, o espacios de Tarski, como modelo topológico / conjuntista. Los operadores modales de la lógica TK, en su contraparte topológica, están asociados a los conceptos de cierre e interior, sin embargo estos espacios no coinciden con los espacios topológicos habituales. Comenzamos con la presentación de estas nociones. Por otro lado, las conexiones de Galois, que tienen su origen motivado en la Teoría de Galois, se obtienen de las parejas de Galois, que actúan en estructuras de orden. Las flexiones en las direcciones en las que se aplican los órdenes entre estas estructuras generan los pares de Galois. En un segundo momento, presentamos estas nociones. Inicialmente, encontramos que los operadores interior y de cierre definidos en los espacios cuasi topológicos no determinan ningún par de Galois. Pero, ¿qué haría que estos operadores cayeran en la condición de una pareja de Galois? Cuando se analiza en el contexto lógico, imaginamos que la inclusión del conocido axioma modal B a la lógica TK nos daría tal par. Así, la contraparte de tal axioma, en el contexto de espacios cuasi topológicos, nos ha llevado a obtener un adjunto de sus respectivos operadores de cierre e interior.