Funciones generadoras y el conteo de matrices (0,1) simétricas

Resumen

En este trabajo presentaremos una resoluci´on original para la soluci´on del problema: cuantas matrices (0,1) (cuyas entradas son todas iguales a 0 o 1) sim´etricas de orden n pueden ser construidas con la restricci´on adicional de que la suma de los elementos de cualquier fila est´e fijada para cada entero 0, 1, 2, . . . , n como por ejemplo:
• ¿Cu´antas matrices (0,1) sim´etricas de orden 5 pueden ser construidas, de modo que la suma de los elementos de cualquier fila sea igual a 2?
• ¿Cu´antas matrices (0,1) sim´etricas de orden 4 pueden ser construidas, de modo que s(1) = 2, s(2) = s(3) = 3 y s(4) = 4, donde s(i) indica la suma de los elementos de la fila i?
La estrategia de resoluci´on de este problema implica la utilizaci´on de funciones generadoras, una herramienta de extrema importancia y con diversas aplicaciones, pero poco estudiada en cursos superiores en el ´area de matem´aticas y ciencias exactas. En este sentido, este texto busca ofrecer una introducci´on a esta herramienta a trav´es de varios ejemplos, incluyendo el problema de las matrices sim´etricas, cuya soluci´on puede ser modelada por una funci´on generadora de n variables con expansi´on polinomial en la que el coeficiente de x₁^{t₁}...x_n^{t_n}, t_i ∈ {0, 1, 2, . . . , n} expresa el n´umero de matrices en las que la suma de la fila i es igual a ti. Este trabajo fue presentado en forma de minicurso, sin publicaci´on en anales, en la XI Bienal de Matem´aticas, realizada en S˜ao Carlos - SP, entre el 29 de julio y el 02 de agosto de 2024.