Funções geradoras e a contagem de matrizes (0,1) simétricas

Resumo

Neste trabalho apresentaremos uma resolução original para a solução do problema: quantas matrizes (0,1) (cujas entradas s˜ao todas iguais a 0 ou 1) sim´etricas de ordem n podem ser constru´ıdas com a restrição adicional de que a soma dos elementos de qualquer linha ´e fixada para cada inteiro 0, 1, 2, . . . , n como por exemplo:
• Quantas matrizes (0,1) sim´etricas de ordem 5 podem ser constru´ıdas, de modo que a soma dos elementos de qualquer linha seja igual a 2?
• Quantas matrizes (0,1) sim´etricas de ordem 4 podem ser constru´ıdas, de modo que s(1) = 2, s(2) = s(3) = 3 e s(4) = 4, onde s(i) indica a soma dos elementos da linha i?
A estrat´egia de resolução deste problema envolve a utilização de funções geradoras, uma ferramenta de extrema importˆancia e com diversas aplicações, mas pouco estudada em cursos superiores na ´area de matemática e ciˆencias exatas. Neste sentido, este texto visa oferecer a introdução dessa ferramenta atrav´es de v´arios exemplos, incluindo o problema das matrizes sim´etricas, cuja solução pode ser modelada por uma função geradora de  n  vari´aveis com expans˜ao polinomial em que o coeficiente de  x₁^{t₁}...x_n^{t_n}, t_i ∈ {0, 1, 2, . . . , n} expressa o número de matrizes em que a soma da linha i ´e igual a t_i. Este trabalho foi apresentado no formato de minicurso, sem publicação em anais, na XI Bienal de Matem´atica, realizada em S˜ao Carlos-SP, entre 29 de julho e 02 de agosto de 2024.