Três Problemas sobre Recorrências na Olimpíada Internacional de Matemática

Abstract

Se discutem detalhadamente três problemas propostos para a Olimpíada Internacional de Matemática (IMO), onde o foco está em lidar com recorrências. No primeiro, a recorrência é uma igualdade de segunda ordem, linear e não homogênea e pede-se mostrar a validade de determinada propriedade. No segundo a lei de recorrência é definida usando uma desigualdade de segunda ordem linear e homogênea e deve-se mostrar que vale outra desigualdade para os termos da sequência correspondente. No terceiro problema a recorrência é de primeira ordem, porém não linear, e se requer encontrar uma fórmula fechada para os termos da sequência relacionada. Os desafios permitem treinar o uso de várias técnicas como somas e produtos telescópicos, soma de uma progressão aritmética e geométrica e demonstração por contradição.

Three problems proposed for the International Mathematical Olympiad (IMO) are discussed in detail, where the focus is on dealing with recurrences. In the first, recurrence is a second order equality, linear and inhomogeneous, and it is requested to show the validity of a given property. In the second, the recurrence law is defined using a second-order linear and homogeneous inequality and it must be shown that another inequality is valid for the terms of the corresponding sequence. In the third problem, recurrence is first order, but not linear, and it is necessary to find a closed formula for the terms of the related sequence. The challenges make it possible to train the use of various techniques such as telescopic sums and telescopic products, the sum of an arithmetic and geometric progression and demonstration by contradiction.