O Décimo Problema de Hilbert

Abstract

Este trabalho trata do Décimo Problema de Hilbert, cujo enunciado é: Dada uma equação diofantina com coeficientes inteiros em um número qualquer de variáveis, é possível elaborar um processo que decida, através de um número finito de operações, se a equação tem soluções inteiras. O objetivo é demonstrar que não é possível elaborar tal processo, isto é, mostrar que o Décimo Problema de Hilbert é insolúvel. Inicialmente, fizemos um estudo sobre Equações Diofantinas, Conjuntos Diofantinos e Funções Diofantinas, analisando suas propriedades e finalizando esta etapa com a prova do Teorema da Sequência de Números. Após isso, foi necessário compreender as diversas propriedades das Equações de Pell, com a finalidade de mostrar que a função exponencial é diofantina, e com esse resultado juntamente com o conceito de função recursiva mostramos que uma função ser recursiva é equivalente a ser diofantina. Finalmente, provamos o Teorema de Universalidade que é utilizado na demonstração do último teorema: O Décimo Problema de Hilbert é insolúvel.