Aplicações da Teoria dos Resíduos no Cálculo de Integrais Reais

Resumo

Este artigo apresenta um estudo sobre aplicações do Teorema dos Resíduos no cálculo de integrais reais, relacionando a teoria de funções de uma variável complexa com a teoria de funções de uma variável real.

Para isso, foram analisados previamente conceitos significativos para o entendimento dos procedimentos utilizados no cálculo de tais integrais. Na primeira parte, investigou-se, por meio de definições, resultados e demonstrações, as funções holomorfas, introduzindo os conceitos de limite, continuidade, derivação, integração e algumas funções elementares. Em seguida, uma síntese relativa a sequências e séries foi apresentada, compreendendo as séries de potências, essenciais no estudo das funções holomorfas. Além disso, as singularidades destas funções foram consideradas e, a partir daí, pôde-se classificá-las por meio da expansão de Laurent, elucidando o comportamento de funções em torno de determinados pontos singulares. Depois disso, foi definido o que é o resíduo de uma função, apresentando imediatamente como calculá-lo numa singularidade isolada, especialmente em polos.

Por fim, demonstrou-se o Teorema dos Resíduos e fez-se uso deste para calcular integrais reais divididas em três casos. Com isto foi possível observar que algumas integrais reais podem ser vistas como integrais complexas e calculadas desta forma.